四面体OABCがあり、$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$ で定まる点Pがある。直線CPと三角形OABの交点をQとするとき、位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。

## 問題86

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、$\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$ で定まる点Pがある。直線CPと三角形OABの交点をQとするとき、位置ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Qが平面OAB上にあることから、$\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ (s, tは実数)と表せる。

また、点Qが直線CP上にあることから、$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OC} + u\overrightarrow{OP}$ (uは実数)と表せる。

$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を用いて表した式を代入し、$\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ で表す。

$\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ と $\overrightarrow{OQ}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ で表した式を比較し、$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ の係数を比較することで、s, t, u の値を求める。

手順1: $\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OC} + u\overrightarrow{OP}$ に $\overrightarrow{OP} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}$ を代入する。

$$\overrightarrow{OQ} = (1-u)\overrightarrow{OC} + u\left(\frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}}{3}\right)$$

手順2: 上の式を整理して $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ で表す。

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{u}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{u}{3}\overrightarrow{OB} + \left(1-u-\frac{u}{3}\right)\overrightarrow{OC} = \frac{u}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{u}{3}\overrightarrow{OB} + \left(1-\frac{4u}{3}\right)\overrightarrow{OC}$$

手順3: $\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ と比較する。$\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ は一次独立なので、

$$s = \frac{u}{3}, \quad t = \frac{u}{3}, \quad 1-\frac{4u}{3} = 0$$

手順4: $1-\frac{4u}{3} = 0$ より $u = \frac{3}{4}$ が得られる。

手順5: $s = \frac{u}{3}, t = \frac{u}{3}$ に $u = \frac{3}{4}$ を代入する。

$$s = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4}, \quad t = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4}$$

手順6: $\overrightarrow{OQ} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB}$ に $s = \frac{1}{4}, t = \frac{1}{4}$ を代入する。

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$$

3. 最終的な答え

$$\overrightarrow{OQ} = \frac{1}{4}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$$