画像にある図形の $x$ と $y$ の値を求める問題です。具体的には、以下の問題について解答します。 * (1) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AC = 6$のとき、$x$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとすると、$\angle DAC = 60^\circ$である。 * (2) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AB = 5$, $\angle C = 30^\circ$のとき、$x$と$y$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。 * (3) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AB = 2$, $\angle A = 75^\circ$のとき、$x$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。 * (4) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AC = 6$, $\angle A = 105^\circ$のとき、$x$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。 * (5) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^\circ$, $AC = 2$, $\angle C = 135^\circ$のとき、$x$と$y$を求める。

はい、承知いたしました。数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像にある図形の $x$ と $y$ の値を求める問題です。具体的には、以下の問題について解答します。

* (1) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AC = 6$のとき、$x$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとすると、$\angle DAC = 60^\circ$である。

* (2) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AB = 5$, $\angle C = 30^\circ$のとき、$x$と$y$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。

* (3) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AB = 2$, $\angle A = 75^\circ$のとき、$x$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。

* (4) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 45^\circ$, $AC = 6$, $\angle A = 105^\circ$のとき、$x$を求める。ただし、点AからBCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。

* (5) 三角形ABCにおいて、$\angle B = 30^\circ$, $AC = 2$, $\angle C = 135^\circ$のとき、$x$と$y$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ADCに着目すると、$\angle DAC = 60^\circ$より、$\angle ACD = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$。

したがって、AD = $6 \cdot \sin 30^\circ = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$。

三角形ABDに着目すると、$\angle ABD = 45^\circ$より、三角形ABDは直角二等辺三角形である。

したがって、AD = BD = 3。

$x = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

(2)

三角形ABDに着目すると、$\angle ABD = 45^\circ$より、三角形ABDは直角二等辺三角形である。

したがって、AD = BD = $5 \cdot \sin 45^\circ = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$。

三角形ADCに着目すると、$\angle ACD = 30^\circ$より、AC = $\frac{AD}{\sin 30^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{2} / \frac{1}{2} = 5\sqrt{2}$。

$x = AC = 5\sqrt{2}$。

CD = $AD \cdot \cot 30^\circ = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$。

$y = BD + CD = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{5\sqrt{6}}{2} = \frac{5}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{6})$

(3)

$\angle C = 180^\circ - 75^\circ - 45^\circ = 60^\circ$

正弦定理より、$\frac{2}{\sin 60^\circ} = \frac{x}{\sin 75^\circ}$

$x = \frac{2 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3} \sqrt{2} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3}$

(4)

$\angle C = 180^\circ - 105^\circ - 45^\circ = 30^\circ$

正弦定理より、$\frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{x}{\sin 30^\circ}$

$x = \frac{6 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{6 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

(5)

$\angle A = 180^\circ - 135^\circ - 30^\circ = 15^\circ$

正弦定理より、$\frac{2}{\sin 30^\circ} = \frac{x}{\sin 135^\circ} = \frac{y}{\sin 15^\circ}$

$x = \frac{2 \cdot \sin 135^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2}$

$y = \frac{2 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 3\sqrt{2}$

(2) $x = 5\sqrt{2}$, $y = \frac{5}{2}(\sqrt{2} + \sqrt{6})$

(3) $x = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

(4) $x = 3\sqrt{2}$

(5) $x = 2\sqrt{2}$, $y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$