$\sin \theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos \theta$を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

1. 問題の内容

$\sin \theta = \frac{1}{4}$のとき、$\cos \theta$を求める。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$とする。

2. 解き方の手順

三角関数の基本的な恒等式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用する。

まず、$\cos^2 \theta$ を求める。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

与えられた値 $\sin \theta = \frac{1}{4}$ を代入すると、

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

したがって、

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{15}{16}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}$

ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\theta$ は第一象限の角である。第一象限では $\cos \theta$ は正の値をとるので、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$