等脚台形ABCDにおいて、AB = 4、AD = 2、∠DAB = π/3であり、ABを3:1に内分する点をEとする。DEとACの交点をFとする。 (1) DF:FEを求めよ。 (2) $\overrightarrow{AF}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$で表せ。

1. 問題の内容

等脚台形ABCDにおいて、AB = 4、AD = 2、∠DAB = π/3であり、ABを3:1に内分する点をEとする。DEとACの交点をFとする。

(1) DF:FEを求めよ。

(2) $\overrightarrow{AF}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$で表せ。

2. 解き方の手順

(1) DF:FEを求める。

まず、$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$である。

次に、メネラウスの定理を三角形ABEと直線DFに関して適用すると、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EA} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

$\frac{2}{DB} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

また、台形ABCDは等脚台形なので、DB = AB - AD = 4 - 2 = 2

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

$\frac{AF}{FC} = 3$

したがって、AF : FC = 3 : 1

次に、チェバの定理を三角形ADEと点Fに関して適用すると、

$\frac{AF}{FC} \cdot \frac{CB}{BE} \cdot \frac{EX}{XA} = 1$

$\frac{DF}{FE} \cdot \frac{EA}{AB} \cdot \frac{BC}{CD} = 1$

$\frac{DF}{FE} = \frac{CD}{BC} \cdot \frac{AB}{EA} = \frac{AD}{BC} \cdot \frac{AB}{EA} = \frac{2}{4} \cdot \frac{4}{\frac{3}{4}\times 4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、DF : FE = 2 : 3

(2) $\overrightarrow{AF}$を$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$で表す。

$\overrightarrow{AF} = s\overrightarrow{AC} + t\overrightarrow{AD}$と表す。

点Fは線分DE上にあるので、$\overrightarrow{AF} = (1-k)\overrightarrow{AD} + k\overrightarrow{AE} = (1-k)\overrightarrow{AD} + k\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$ (kは実数)

点Fは線分AC上にあるので、$\overrightarrow{AF} = l\overrightarrow{AC}$ (lは実数)

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$ (∵ $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$)

$\overrightarrow{AF} = l(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) = l\overrightarrow{AD} + l\overrightarrow{AB}$

よって、

$(1-k)\overrightarrow{AD} + k\frac{3}{4}\overrightarrow{AB} = l\overrightarrow{AD} + l\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AD}$と$\overrightarrow{AB}$は一次独立なので、

$1-k = l$

$\frac{3}{4}k = l$

$1-k = \frac{3}{4}k$

$1 = \frac{7}{4}k$

$k = \frac{4}{7}$

$l = \frac{3}{4}k = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AC} = \frac{3}{7}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD}$

3. 最終的な答え

(1) DF:FE = 2:3

(2) $\overrightarrow{AF} = \frac{3}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{AD}$