表 5-2-1 の正規分布表を用いて、以下の確率を計算する。ただし、$Z$ は標準正規分布に従う確率変数である。 (1) $P(1 \le Z < 3)$ (2) $P(-2 \le Z < 0)$ (3) $P(-2.5 \le Z < 2)$ (4) $P(-1 \le Z < 1)$

1. 問題の内容

表 5-2-1 の正規分布表を用いて、以下の確率を計算する。ただし、$Z$ は標準正規分布に従う確率変数である。

(1) $P(1 \le Z < 3)$

(2) $P(-2 \le Z < 0)$

(3) $P(-2.5 \le Z < 2)$

(4) $P(-1 \le Z < 1)$

2. 解き方の手順

正規分布表は $P(Z \ge z)$ の値を示している。したがって、$P(a \le Z < b)$ を求めるには、以下の公式を利用する。

$P(a \le Z < b) = P(Z \ge a) - P(Z \ge b)$

また、$P(Z < a) = 1 - P(Z \ge a)$ および $P(-a \le Z < 0) = P(0 < Z \le a) = P(Z \ge 0) - P(Z \ge a) = 0.5 - P(Z \ge a)$を利用する。

(1) $P(1 \le Z < 3) = P(Z \ge 1) - P(Z \ge 3)$

表より、$P(Z \ge 1) = 0.1587$、$P(Z \ge 3) = 0.0014$

$P(1 \le Z < 3) = 0.1587 - 0.0014 = 0.1573$

(2) $P(-2 \le Z < 0) = 0.5 - P(Z \ge 2)$

表より、$P(Z \ge 2) = 0.0228$

$P(-2 \le Z < 0) = 0.5 - 0.0228 = 0.4772$

(3) $P(-2.5 \le Z < 2) = P(-2.5 \le Z < 0) + P(0 \le Z < 2) = (0.5 - P(Z \ge 2.5)) + (0.5 - P(Z \ge 2))$

表より、$P(Z \ge 2.5) = 0.0062$、$P(Z \ge 2) = 0.0228$

$P(-2.5 \le Z < 2) = (0.5 - 0.0062) + (0.5 - 0.0228) = 0.4938 + 0.4772 = 0.971$

(4) $P(-1 \le Z < 1) = P(-1 \le Z < 0) + P(0 \le Z < 1)$

$P(-1 \le Z < 0) = 0.5 - P(Z \ge 1)$

$P(0 \le Z < 1) = P(Z \ge 0) - P(Z \ge 1) = 0.5 - P(Z \ge 1)$

したがって、$P(-1 \le Z < 1) = 2 * (0.5 - P(Z \ge 1)) = 1 - 2P(Z \ge 1)$

表より、$P(Z \ge 1) = 0.1587$

$P(-1 \le Z < 1) = 1 - 2 * 0.1587 = 1 - 0.3174 = 0.6826$

3. 最終的な答え

(1) $P(1 \le Z < 3) = 0.1573$

(2) $P(-2 \le Z < 0) = 0.4772$

(3) $P(-2.5 \le Z < 2) = 0.971$

(4) $P(-1 \le Z < 1) = 0.6826$