円 $C_1$ が $x^2 + y^2 = 5$ で与えられ、2点 $A(2, 0)$ と $B(2, 6)$ を通る円を $C_2$ とします。 (1) 円 $C_2$ について、 (i) $C_2$ の中心は常に $y$ 軸に垂直な直線上にある。その直線の方程式を求めよ。 (ii) $C_2$ が点 $(4, 0)$ を通るとき、$C_2$ の方程式を求めよ。 (2) (1) (ii) のとき、$C_1$ と $C_2$ の2交点を通る直線を $l$ とする。$l$ の方程式を求めよ。 (3) (2) のとき、原点および $C_2$ の中心を通る直線と、直線 $l$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

1. 問題の内容

円 $C_1$ が $x^2 + y^2 = 5$ で与えられ、2点 $A(2, 0)$ と $B(2, 6)$ を通る円を $C_2$ とします。

(1) 円 $C_2$ について、

(i) $C_2$ の中心は常に $y$ 軸に垂直な直線上にある。その直線の方程式を求めよ。

(ii) $C_2$ が点 $(4, 0)$ を通るとき、$C_2$ の方程式を求めよ。

(2) (1) (ii) のとき、$C_1$ と $C_2$ の2交点を通る直線を $l$ とする。$l$ の方程式を求めよ。

(3) (2) のとき、原点および $C_2$ の中心を通る直線と、直線 $l$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0^\circ \le \theta \le 90^\circ$ とする。

2. 解き方の手順

(1) (i)

$C_2$ の中心を $(x, y)$ とする。円 $C_2$ は点 $A(2, 0)$ と $B(2, 6)$ を通るので、中心から $A$ と $B$ までの距離は等しい。

$(x-2)^2 + (y-0)^2 = (x-2)^2 + (y-6)^2$

$y^2 = (y-6)^2$

$y^2 = y^2 - 12y + 36$

$12y = 36$

$y = 3$

よって、$C_2$ の中心は常に直線 $y = 3$ 上にある。

(1) (ii)

$C_2$ の中心は $(a, 3)$ とおける。$C_2$ が点 $(4, 0)$ を通るので、$C_2$ の方程式は $(x-a)^2 + (y-3)^2 = r^2$ とおける。点 $(4, 0)$ を通ることから、

$(4-a)^2 + (0-3)^2 = r^2$

$(4-a)^2 + 9 = r^2$

また、$C_2$ は点 $(2, 0)$ を通るので、

$(2-a)^2 + (0-3)^2 = r^2$

$(2-a)^2 + 9 = r^2$

したがって、$(4-a)^2 + 9 = (2-a)^2 + 9$ より、

$(4-a)^2 = (2-a)^2$

$16 - 8a + a^2 = 4 - 4a + a^2$

$12 = 4a$

$a = 3$

$r^2 = (2-3)^2 + 9 = 1 + 9 = 10$

よって、$C_2$ の方程式は $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 10$

(2)

$C_1$ の方程式は $x^2 + y^2 = 5$

$C_2$ の方程式は $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 10$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 = 10$

$x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8 = 0$

$C_1$ と $C_2$ の交点を通る直線 $l$ の方程式は、

$(x^2 + y^2 - 5) - (x^2 + y^2 - 6x - 6y + 8) = 0$

$6x + 6y - 13 = 0$

$6x + 6y = 13$

(3)

$C_2$ の中心は $(3, 3)$ である。原点 $(0, 0)$ と $(3, 3)$ を通る直線の傾きは $3/3 = 1$ なので、$y = x$。

直線 $l$ の方程式は $6x + 6y - 13 = 0$ より、$y = -x + \frac{13}{6}$ となり、傾きは $-1$ である。

$y = x$ と $y = -x + \frac{13}{6}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\tan \theta = |\frac{1 - (-1)}{1 + 1(-1)}|$ となるが、分母が0になるため、$\theta$ は $90^\circ$ である。

3. 最終的な答え

(1) (i) $y = 3$

(1) (ii) $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 10$

(2) $6x + 6y = 13$

(3) $\theta = 90^\circ$