$\cos(\alpha + 270^\circ - y)$ を展開せよ。

1. 問題の内容

$\cos(\alpha + 270^\circ - y)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$270^\circ - y$ を $A$ と置くと、与えられた式は $\cos(\alpha + A)$ となります。

$\cos(\alpha + A)$ の加法定理は次のようになります。

$\cos(\alpha + A) = \cos \alpha \cos A - \sin \alpha \sin A$

ここで、$A$ を $270^\circ - y$ に戻すと、

$\cos (\alpha + 270^\circ - y) = \cos \alpha \cos(270^\circ - y) - \sin \alpha \sin(270^\circ - y)$

$\cos(270^\circ - y) = \cos(270^\circ)\cos(y) + \sin(270^\circ)\sin(y) = 0 \cdot \cos(y) + (-1) \cdot \sin(y) = -\sin y$

$\sin(270^\circ - y) = \sin(270^\circ)\cos(y) - \cos(270^\circ)\sin(y) = (-1) \cdot \cos(y) - 0 \cdot \sin(y) = -\cos y$

これらの結果を代入すると、

$\cos(\alpha + 270^\circ - y) = \cos \alpha (-\sin y) - \sin \alpha (-\cos y) = -\cos \alpha \sin y + \sin \alpha \cos y = \sin \alpha \cos y - \cos \alpha \sin y$

さらに、$\sin \alpha \cos y - \cos \alpha \sin y$ は $\sin(\alpha - y)$ となります。

3. 最終的な答え

$\sin(\alpha - y)$