図の立体を直線 $l$ を軸として1回転させたときにできる立体の表面積と体積を求めます。図は、高さ10、底面の半径が3の円柱と、高さ10、底面の半径が3、母線が5の円錐を組み合わせた図形を、軸を中心として1回転させたものです。

1. 問題の内容

図の立体を直線 $l$ を軸として1回転させたときにできる立体の表面積と体積を求めます。図は、高さ10、底面の半径が3の円柱と、高さ10、底面の半径が3、母線が5の円錐を組み合わせた図形を、軸を中心として1回転させたものです。

2. 解き方の手順

まず、円柱部分の表面積を計算します。円柱の側面積は、底面の円周 $2 \pi r$ と高さ $h$ の積で表されます。底面の円周は $2 \pi \times 3 = 6 \pi$ で、高さは10なので、側面積は $6 \pi \times 10 = 60 \pi$ です。底面の円の面積は $\pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9 \pi$ です。円柱には底面が2つあるので、$9 \pi \times 2 = 18 \pi$ です。よって円柱部分の表面積は $60 \pi + 18 \pi = 78 \pi$ です。

次に、円錐部分の表面積を計算します。円錐の側面積は $\pi r l$ で計算できます。ここで、$r$ は底面の半径、$l$ は母線の長さです。この場合、$r = 3$ で $l = 5$ なので、側面積は $\pi \times 3 \times 5 = 15 \pi$ です。

したがって、全体の表面積は $78 \pi + 15 \pi = 93 \pi$ です。

次に、円柱部分の体積を計算します。円柱の体積は $\pi r^2 h$ で計算できます。$r = 3$ で $h = 10$ なので、体積は $\pi \times 3^2 \times 10 = 90 \pi$ です。

次に、円錐部分の体積を計算します。円錐の体積は $\frac{1}{3} \pi r^2 h$ で計算できます。$r = 3$ で $h = \sqrt{5^2-3^2}=4$ なので、体積は $\frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 4 = 12 \pi$ です。

したがって、全体の体積は $90 \pi + 12 \pi = 102 \pi$ です。

3. 最終的な答え

表面積: $93\pi$

体積: $102\pi$