問題(3)は、正四面体OABCがあり、その各面の重心をO', A', B', C'とする。四面体OABCの体積をV、四面体O'A'B'C'の体積をV'としたとき、V/V'を求める問題です。 問題(4)は、5で割ると3余り、8で割ると1余る3桁の正の整数の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題(3)は、正四面体OABCがあり、その各面の重心をO', A', B', C'とする。四面体OABCの体積をV、四面体O'A'B'C'の体積をV'としたとき、V/V'を求める問題です。

問題(4)は、5で割ると3余り、8で割ると1余る3桁の正の整数の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

(3)

正四面体OABCの一辺の長さを $a$ とします。

四面体O'A'B'C'は、四面体OABCと相似であり、相似比は1/3です。なぜなら、重心は中線を2:1に内分するからです。

体積比は相似比の3乗に等しいので、

$V'/V = (1/3)^3 = 1/27$

したがって、$V/V' = 27$

(4)

5で割ると3余り、8で割ると1余る正の整数を $n$ とすると、

$n = 5k + 3 = 8l + 1$ （k, lは整数）と表せます。

$5k + 3 = 8l + 1$ より、$5k + 2 = 8l$

$5k + 2$ は8の倍数なので、$5k + 2 = 8l$を満たす $k$ を探します。

$k = 2$ のとき、$5k + 2 = 12$ (8の倍数ではない)

$k = 3$ のとき、$5k + 2 = 17$ (8の倍数ではない)

$k = 4$ のとき、$5k + 2 = 22$ (8の倍数ではない)

$k = 5$ のとき、$5k + 2 = 27$ (8の倍数ではない)

$k = 6$ のとき、$5k + 2 = 32 = 8 * 4$ よって、$l = 4$

このとき、$n = 5 * 6 + 3 = 33 = 8 * 4 + 1$

つまり、条件を満たす整数 $n$ は、$n = 33 + 40m$ （mは整数）と表せます。ここで、40は5と8の最小公倍数です。

$n$ が3桁の整数なので、$100 \le 33 + 40m \le 999$

$67 \le 40m \le 966$

$67/40 \le m \le 966/40$

$1.675 \le m \le 24.15$

$m$ は整数なので、$2 \le m \le 24$

よって、$m$ の個数は $24 - 2 + 1 = 23$ 個です。

3. 最終的な答え

(3) 27

(4) 23