整式 $x^n - x^2 + n$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めます。ただし、$n$ は自然数です。

1. 問題の内容

整式 $x^n - x^2 + n$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りを求めます。ただし、$n$ は自然数です。

2. 解き方の手順

余りは一次式以下なので、$ax+b$ とおけます。

すると、$x^n - x^2 + n = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$ と表せます。

ここで、$Q(x)$ はある多項式です。

$x=1$ を代入すると、

$1^n - 1^2 + n = a(1) + b$

$1 - 1 + n = a + b$

$n = a + b$

次に、$x^n - x^2 + n = (x-1)^2 Q(x) + ax + b$ を $x$ で微分すると、

$nx^{n-1} - 2x = 2(x-1)Q(x) + (x-1)^2 Q'(x) + a$

$x=1$ を代入すると、

$n(1)^{n-1} - 2(1) = 2(1-1)Q(1) + (1-1)^2 Q'(1) + a$

$n - 2 = a$

したがって、$a = n - 2$ です。

$n = a + b$ に代入すると、

$n = (n-2) + b$

$b = 2$

よって、余りは $(n-2)x + 2$ です。

3. 最終的な答え

$(n-2)x+2$