円周上に等間隔に並んだ6つの点A, B, C, D, E, Fがある。この6つの点から3つを選び、それらを頂点とする三角形をつくる。 (1) 点Aを頂点にもつ三角形は何個できるか。 (2) (1)で求めた三角形のうち、直角三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

円周上に等間隔に並んだ6つの点A, B, C, D, E, Fがある。この6つの点から3つを選び、それらを頂点とする三角形をつくる。

(1) 点Aを頂点にもつ三角形は何個できるか。

(2) (1)で求めた三角形のうち、直角三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 点Aを頂点に持つ三角形の数を求める。

点Aは固定されているので、残りの2つの頂点をB, C, D, E, Fの中から選ぶ必要がある。

この選び方は、5つの点から2つを選ぶ組み合わせの数となる。

組み合わせの数は $_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で計算できる。

ここでは $_{5}C_{2}$ を計算する。

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) (1)で求めた三角形のうち、直角三角形の数を求める。

円周上の6つの点が等間隔に並んでいるとき、円の中心を通る弦（直径）に対する円周角は直角になる。つまり、直径を斜辺とする三角形が直角三角形となる。

Aを頂点とする直角三角形を考える。

直径となるのはADを結んだ線である。

Aが固定されているので、もう一つの頂点はDとなる。

すると、残りの頂点はB, C, E, Fのいずれかとなる。

したがって、Aを頂点とする直角三角形は、ABD, ACD, AED, AFD の4つとなる。

3. 最終的な答え

(1) 10個

(2) 4個