与えられた4次方程式 $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $x^4 - 6x^2 + 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = y$ とおくと、与えられた方程式は $y^2 - 6y + 1 = 0$ となる。

これは $y$ についての2次方程式なので、解の公式を用いて $y$ を求める。

$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}$

$y = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}$

$y = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}$

$y = 3 \pm 2\sqrt{2}$

$y = x^2$ より、$x^2 = 3 \pm 2\sqrt{2}$

よって、$x = \pm \sqrt{3 \pm 2\sqrt{2}}$

ここで、$3 \pm 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} \pm 1)^2$ であるから、

$x = \pm \sqrt{(\sqrt{2} \pm 1)^2}$

$x = \pm (\sqrt{2} \pm 1)$

したがって、$x = \sqrt{2} + 1, -\sqrt{2} - 1, \sqrt{2} - 1, -\sqrt{2} + 1$

3. 最終的な答え

$x = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}, -1 + \sqrt{2}, -1 - \sqrt{2}$