2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、以下の問いに答えます。 * グラフは上に凸か下に凸か。 * 軸の方程式を求める。 * 頂点の座標を求める。 * この放物線を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求める。 * 放物線 $C$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 - 2x + 1$ について、以下の問いに答えます。

* グラフは上に凸か下に凸か。

* 軸の方程式を求める。

* 頂点の座標を求める。

* この放物線を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求める。

* 放物線 $C$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = -x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = -(x^2 + 2x) + 1$

$y = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x + 1)^2 + 2$

* $x^2$ の係数が負なので、グラフは上に凸です。

* 軸の方程式は $x = -1$ です。

* 頂点の座標は $(-1, 2)$ です。

次に、放物線 $y = -(x + 1)^2 + 2$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $5$ だけ平行移動した放物線 $C$ の方程式を求めます。

$x$ を $x + 3$ に、$y$ を $y - 5$ に置き換えます。

$y - 5 = -((x + 3) + 1)^2 + 2$

$y - 5 = -(x + 4)^2 + 2$

$y = -(x + 4)^2 + 7$

$y = -(x^2 + 8x + 16) + 7$

$y = -x^2 - 8x - 16 + 7$

$y = -x^2 - 8x - 9$

最後に、放物線 $C: y = -x^2 - 8x - 9$ を原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めます。

$x$ を $-x$ に、$y$ を $-y$ に置き換えます。

$-y = -(-x)^2 - 8(-x) - 9$

$-y = -x^2 + 8x - 9$

$y = x^2 - 8x + 9$

3. 最終的な答え

* グラフは上に凸

* 軸は直線 $x = -1$

* 頂点の座標は $(-1, 2)$

* 放物線 $C$ の方程式は $y = -x^2 - 8x - 9$

* 原点に関して対称移動した放物線の方程式は $y = x^2 - 8x + 9$