太郎さんのクラスで体育祭のリレーに出場するメンバーを4人選び、走順を決める。クラスは男子16人、女子14人の合計30人。陸上部員は男子5人、女子4人の合計9人。 (1) 陸上部員だけでリレーメンバーを構成するときの走順の総数。 (2) 陸上部員以外の男女2人ずつの4人でチームを構成し、かつ第1走者と第4走者が男子となる走順の総数。

1. 問題の内容

太郎さんのクラスで体育祭のリレーに出場するメンバーを4人選び、走順を決める。クラスは男子16人、女子14人の合計30人。陸上部員は男子5人、女子4人の合計9人。

(1) 陸上部員だけでリレーメンバーを構成するときの走順の総数。

(2) 陸上部員以外の男女2人ずつの4人でチームを構成し、かつ第1走者と第4走者が男子となる走順の総数。

2. 解き方の手順

(1) 陸上部員は男子5人、女子4人なので、合計9人。この中から4人を選び、走順を決める。

まず、4人を選ぶ組み合わせは $_9C_4$通り。

次に、選んだ4人の走順は $4!$通り。

よって、求める走順の総数は $_9C_4 \times 4! = \frac{9!}{4!5!} \times 4! = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024$ 通り。

(2) 陸上部員以外の男子は $16 - 5 = 11$人、女子は $14 - 4 = 10$人。

男女2人ずつ選ぶので、男子の選び方は $_{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$通り。

女子の選び方は $_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$通り。

よって、メンバーの選び方は $55 \times 45 = 2475$通り。

次に、走順を考える。第1走者と第4走者は男子なので、

第1走者の選び方は2通り。

第4走者の選び方は1通り。（第1走者で選ばれなかった方）

第2走者は女子なので2通り。

第3走者は残りの女子なので1通り。

よって走順は $2 \times 1 \times 2 \times 1 = 4$通り。

したがって、求める走順の総数は $2475 \times 4 = 9900$通り。

3. 最終的な答え

(1) 3024通り

(2) 9900通り