$2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}$ を計算します。

1. 問題の内容

$2^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、負の指数を正の指数に変換します。

$3^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$2^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}}$

次に、同じ指数を持つ累乗の性質を使用します。$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$の逆の変形を利用します。

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{\left(\frac{2}{3}\right)^2}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$

したがって、$\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$となります。

これを変形して、分母に根号がない形にします。

$\sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\frac{12}{27}} = \frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{\sqrt[3]{12}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt[3]{12}}{3}$