与えられた式を簡約化する問題です。式は次の通りです。 $\frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

1. 問題の内容

与えられた式を簡約化する問題です。式は次の通りです。

$\frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x + \sqrt{x^2 + 1}}$

2. 解き方の手順

分子と分母に $x - \sqrt{x^2 + 1}$ をかけます。

$\frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x - \sqrt{x^2 + 1}}{x - \sqrt{x^2 + 1}}$

分子を計算します：

$(1 + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1}) = x - \sqrt{x^2 + 1} + x\sqrt{x^2 + 1} - (x^2 + 1)$

$= x - x^2 - 1 - \sqrt{x^2 + 1} + x\sqrt{x^2 + 1}$

分母を計算します：

$(x + \sqrt{x^2 + 1})(x - \sqrt{x^2 + 1}) = x^2 - (x^2 + 1) = x^2 - x^2 - 1 = -1$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{x - x^2 - 1 - \sqrt{x^2 + 1} + x\sqrt{x^2 + 1}}{-1}$

$= -x + x^2 + 1 + \sqrt{x^2 + 1} - x\sqrt{x^2 + 1}$

$= x^2 - x + 1 + (1 - x)\sqrt{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

$x^2 - x + 1 + (1-x)\sqrt{x^2 + 1}$