与えられた式 $\sqrt[3]{2} + \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2}$ を計算して、できるだけ簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt[3]{2} + \frac{1}{(\sqrt[3]{2})^2}$ を計算して、できるだけ簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{2}$を$2^{\frac{1}{3}}$と書き換えます。

式全体を指数で表現すると、$2^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{(2^{\frac{1}{3}})^2}$となります。

分母を計算します。 $(2^{\frac{1}{3}})^2 = 2^{\frac{2}{3}}$なので、$\frac{1}{(2^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$です。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}}$ を $2$ の指数で表現すると、$2^{-\frac{2}{3}}$となります。

したがって、式は $2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{2}{3}}$ となります。

通分するために、$2^{\frac{1}{3}}$ を $2^{\frac{3}{3}}$ で割って掛けます。

$2^{\frac{1}{3}} = \frac{2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{2^{\frac{2}{3}}}$となります。

したがって、

$2^{\frac{1}{3}} + 2^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{2^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{2+1}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2^{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{\sqrt[3]{2^2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{4}}$.

分母の有理化を行います。分母と分子に$\sqrt[3]{2}$をかけます。

$\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$.

3. 最終的な答え

$\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$