与えられた四次方程式 $x^4 - 3x^2 + 1 = 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた四次方程式 $x^4 - 3x^2 + 1 = 0$ を解く。

2. 解き方の手順

与えられた方程式は、$x^2$に関する二次式のように見えますが、直接解くのは難しいです。そこで、両辺を$x^2$で割って、変形してみます。ただし、$x=0$はこの方程式の解ではないので、$x^2$で割っても問題ありません。

$x^4 - 3x^2 + 1 = 0$

両辺を$x^2$で割ると

$x^2 - 3 + \frac{1}{x^2} = 0$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

ここで、$t = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ となります。したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ となります。

これを先程の式に代入すると、

$t^2 - 2 = 3$

$t^2 = 5$

$t = \pm \sqrt{5}$

ここで、$t = x + \frac{1}{x}$ より、

$x + \frac{1}{x} = \pm \sqrt{5}$

両辺に$x$をかけると、

$x^2 + 1 = \pm \sqrt{5}x$

$x^2 \mp \sqrt{5}x + 1 = 0$

これを解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{\pm \sqrt{5} \pm \sqrt{(\pm \sqrt{5})^2 - 4}}{2} = \frac{\pm \sqrt{5} \pm \sqrt{5 - 4}}{2} = \frac{\pm \sqrt{5} \pm 1}{2}$

したがって、$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \frac{-\sqrt{5} + 1}{2}, \frac{-\sqrt{5} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}, \frac{\sqrt{5} - 1}{2}, \frac{-\sqrt{5} + 1}{2}, \frac{-\sqrt{5} - 1}{2}$