与えられた対数計算の問題を解く。問題は以下の通り。 $\log_2 12^2 + \frac{2}{3} \log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \log_2 3$

1. 問題の内容

与えられた対数計算の問題を解く。問題は以下の通り。

$\log_2 12^2 + \frac{2}{3} \log_2 \frac{2}{3} - \frac{4}{3} \log_2 3$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を用いて式を整理する。

$\log_a x^r = r \log_a x$ という性質を利用して、各項の係数を対数の中に入れる。

$\log_2 12^2 + \log_2 (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}} - \log_2 3^{\frac{4}{3}}$

次に、対数の和と差を積と商に変換する。

$\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$

$\log_a x - \log_a y = \log_a (\frac{x}{y})$

これらの性質を利用して、式を一つにまとめる。

$\log_2 \left( \frac{12^2 \cdot (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} \right)$

$12 = 2^2 \cdot 3$ なので、$12^2 = (2^2 \cdot 3)^2 = 2^4 \cdot 3^2$。

与式は、

$\log_2 \left( \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot (\frac{2}{3})^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}} \right)$

$\log_2 \left( \frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}} \right)$

$\log_2 \left( \frac{2^{4 + \frac{2}{3}} \cdot 3^2}{3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}} \right)$

$\log_2 \left( \frac{2^{\frac{14}{3}} \cdot 3^2}{3^2} \right)$

$\log_2 2^{\frac{14}{3}}$

$\frac{14}{3} \log_2 2$

$\log_2 2 = 1$ なので、

$\frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{14}{3}$