与えられた画像には、以下の6つの問題が含まれています。 問題1: 複素数の指数関数の値を求めます。 問題2: 複素数の累乗の値を求めます。 問題3: 複素数 $z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$ が与えられたとき、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}}$ の値を求めます。 問題4: 与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。 問題5: 与えられた連立方程式を解きます。 問題6: 放物線 $y = \sqrt{2}x^2$ を原点の周りに $\frac{\pi}{4}$ だけ回転して得られる曲線の式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた画像には、以下の6つの問題が含まれています。

問題1: 複素数の指数関数の値を求めます。

問題2: 複素数の累乗の値を求めます。

問題3: 複素数 $z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2}$ が与えられたとき、$z^{10} + \frac{1}{z^{10}}$ の値を求めます。

問題4: 与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列 $A^{-1}$ を求めます。

問題5: 与えられた連立方程式を解きます。

問題6: 放物線 $y = \sqrt{2}x^2$ を原点の周りに $\frac{\pi}{4}$ だけ回転して得られる曲線の式を求めます。

2. 解き方の手順

**問題1**

(1) $e^{i\pi}$

オイラーの公式 $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$ を用いると、

$e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = -1 + i(0) = -1$

(2) $e^{i\frac{\pi}{2}}$

オイラーの公式を用いると、

$e^{i\frac{\pi}{2}} = \cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}) = 0 + i(1) = i$

**問題2**

(1) $(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))^{12}$

ド・モアブルの定理 $(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx)$ を用いると、

$(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}))^{12} = \cos(12 \cdot \frac{\pi}{3}) + i\sin(12 \cdot \frac{\pi}{3}) = \cos(4\pi) + i\sin(4\pi) = 1 + i(0) = 1$

(2) $(1-i)^6$

$1-i$ を極形式で表すと、$1-i = \sqrt{2}(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4}))$

したがって、$(1-i)^6 = (\sqrt{2})^6 (\cos(-\frac{6\pi}{4}) + i\sin(-\frac{6\pi}{4})) = 8(\cos(-\frac{3\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3\pi}{2})) = 8(0 + i(1)) = 8i$

**問題3**

$z = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$z = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3}) = e^{i\frac{\pi}{3}}$

$z = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i\sin(-\frac{\pi}{3}) = e^{-i\frac{\pi}{3}}$

$z^{10} = e^{i\frac{10\pi}{3}} = e^{i(3\pi + \frac{\pi}{3})} = e^{i3\pi} e^{i\frac{\pi}{3}} = (\cos(3\pi) + i\sin(3\pi))(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = (-1)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{z^{10}} = e^{-i\frac{10\pi}{3}} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$z^{10} + \frac{1}{z^{10}} = (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = -1$

**問題4**

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

$\det(A) = 1(3-2) - 2(-2-3) + (-3)(4+9) = 1 + 10 - 39 = -28$

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T$ (Cは余因子行列)

$C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 13 \\ -4 & 8 & 4 \\ -7 & -7 & -7 \end{pmatrix}$

$C^T = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -7 \\ 5 & 8 & -7 \\ 13 & 4 & -7 \end{pmatrix}$

$A^{-1} = -\frac{1}{28} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -7 \\ 5 & 8 & -7 \\ 13 & 4 & -7 \end{pmatrix}$

**問題5**

$\begin{cases} x + 2y - 3z = -112 \\ 2x - 3y + z = 84 \\ 3x + 2y - z = 168 \end{cases}$

(1) + (3) より、 $4x + 4y = 56$ なので $x+y=14$

(2) + (3) * 3 より、$11x + 3y = 588$

$y = 14 - x$ なので、 $11x + 3(14 - x) = 588$

$8x + 42 = 588$

$8x = 546$

$x = \frac{546}{8} = \frac{273}{4}$

$y = 14 - \frac{273}{4} = \frac{56-273}{4} = -\frac{217}{4}$

$z = 3x+2y-168=3*\frac{273}{4} -2*\frac{217}{4} - \frac{672}{4} = \frac{819-434-672}{4} = \frac{-287}{4}$

**問題6**

放物線 $y = \sqrt{2}x^2$ を $\frac{\pi}{4}$ 回転させる。

回転行列 $\begin{pmatrix} \cos(\frac{\pi}{4}) & -\sin(\frac{\pi}{4}) \\ \sin(\frac{\pi}{4}) & \cos(\frac{\pi}{4}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}(x'-y')$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}}(x'+y')$

$\frac{1}{\sqrt{2}}(x'+y') = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}}(x'-y'))^2$

$x' + y' = 2(\frac{1}{2}(x'^2 - 2x'y' + y'^2))$

$x' + y' = x'^2 - 2x'y' + y'^2$

$x'^2 - 2x'y' + y'^2 - x' - y' = 0$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) -1 + 0i

(2) 0 + 1i

問題2:

(1) 1 + 0i

(2) 0 + 8i

問題3:

-1 + 0i

問題4:

$A^{-1} = -\frac{1}{28} \begin{pmatrix} 1 & -4 & -7 \\ 5 & 8 & -7 \\ 13 & 4 & -7 \end{pmatrix}$

問題5:

$x = \frac{273}{4}, y = -\frac{217}{4}, z = -\frac{287}{4}$

問題6:

$x^2 + y^2 - 2xy - x - y = 0$