はい、承知いたしました。問題集の問題220の(1), (2), (3), (4), (5), (6)の不定積分を求めます。

はい、承知いたしました。問題集の問題220の(1), (2), (3), (4), (5), (6)の不定積分を求めます。

**

1. 問題の内容**

以下の不定積分を計算します。

(1) $\int \cos^2 \frac{x}{2} dx$

(2) $\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

(3) $\int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 dx$

(4) $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$

(5) $\int \cos 3x \sin 5x dx$

(6) $\int \sin 2x \sin 4x dx$

**

2. 解き方の手順**

**(1) $\int \cos^2 \frac{x}{2} dx$**

半角の公式 $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ を使います。

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$

したがって、

$\int \cos^2 \frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos x) dx = \frac{1}{2} (x + \sin x) + C$

**(2) $\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx$**

積の形を解消するために、倍角の公式を使います。

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$

$\sin^2 x = (2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2=4 \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}$

$\sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{4} \sin^2 x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1-\cos2x}{2} = \frac{1}{8}(1-\cos2x)$

したがって、

$\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{8} \int (1 - \cos 2x) dx = \frac{1}{8} (x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C= \frac{1}{8}x - \frac{1}{16} \sin 2x +C$

**(3) $\int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 dx$**

展開します。

$(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \sin x$

したがって、

$\int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 dx = \int (1 + \sin x) dx = x - \cos x + C$

**(4) $\int \sin x \cos x \cos 2x dx$**

倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を使います。

$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$

$\int \sin x \cos x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2} \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \cos 2x dx$

さらに、$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ より $\sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$

$\frac{1}{2} \int \sin 2x \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sin 4x dx = \frac{1}{4} \int \sin 4x dx = \frac{1}{4} (-\frac{1}{4} \cos 4x) + C= -\frac{1}{16} \cos 4x + C$

**(5) $\int \cos 3x \sin 5x dx$**

積和の公式を使います。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} (\sin(A+B) + \sin(A-B))$

$\cos 3x \sin 5x = \frac{1}{2} (\sin(5x+3x) + \sin(5x-3x)) = \frac{1}{2} (\sin 8x + \sin 2x)$

$\int \cos 3x \sin 5x dx = \frac{1}{2} \int (\sin 8x + \sin 2x) dx = \frac{1}{2} (-\frac{1}{8} \cos 8x - \frac{1}{2} \cos 2x) + C = -\frac{1}{16} \cos 8x - \frac{1}{4} \cos 2x + C$

**(6) $\int \sin 2x \sin 4x dx$**

積和の公式を使います。

$\sin A \sin B = -\frac{1}{2} (\cos(A+B) - \cos(A-B))$

$\sin 2x \sin 4x = -\frac{1}{2} (\cos(2x+4x) - \cos(2x-4x)) = -\frac{1}{2} (\cos 6x - \cos (-2x)) = -\frac{1}{2} (\cos 6x - \cos 2x)$

$\int \sin 2x \sin 4x dx = -\frac{1}{2} \int (\cos 6x - \cos 2x) dx = -\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \sin 6x - \frac{1}{2} \sin 2x) + C = -\frac{1}{12} \sin 6x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

**

3. 最終的な答え**

(1) $\int \cos^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \sin x + C$

(2) $\int \sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} dx = \frac{1}{8}x - \frac{1}{16} \sin 2x +C$

(3) $\int (\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 dx = x - \cos x + C$

(4) $\int \sin x \cos x \cos 2x dx = -\frac{1}{16} \cos 4x + C$

(5) $\int \cos 3x \sin 5x dx = -\frac{1}{16} \cos 8x - \frac{1}{4} \cos 2x + C$

(6) $\int \sin 2x \sin 4x dx = -\frac{1}{12} \sin 6x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$