関数 $y=x^x$ ($x > 0$) を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y=x^x$ ($x > 0$) を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln (x^x)$

$\ln y = x \ln x$

次に、両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (x \ln x)$

左辺は、合成関数の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

右辺は、積の微分法を用いると、

$\frac{d}{dx} (x \ln x) = (1)(\ln x) + (x)(\frac{1}{x})$

$\frac{d}{dx} (x \ln x) = \ln x + 1$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + 1$

$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)$

$y = x^x$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)$