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曲線 $y = e^{-x} - 1$ 上の $x$ 座標が $-1$ である点における接線の方程式と法線の方程式を求める問題です。

解析学微分接線法線指数関数
2025/7/31

1. 問題の内容

曲線 y=e−x−1y = e^{-x} - 1 上の xx 座標が −1-1 である点における接線の方程式と法線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、x=−1x = -1 のときの yy 座標を求めます。
y=e−(−1)−1=e−1y = e^{-(-1)} - 1 = e - 1
したがって、接点（法線が通る点）の座標は (−1,e−1)(-1, e-1) となります。
次に、y=e−x−1y = e^{-x} - 1 の導関数を求めます。
dydx=−e−x\frac{dy}{dx} = -e^{-x}
x=−1x = -1 における導関数の値を求めます。
dydx∣x=−1=−e−(−1)=−e\frac{dy}{dx}|_{x=-1} = -e^{-(-1)} = -e
これが接線の傾きになります。
接線の方程式は、y−(e−1)=−e(x−(−1))y - (e-1) = -e(x - (-1)) と表せます。
整理すると、y=−ex−e+e−1y = -ex - e + e - 1
y=−ex−1y = -ex - 1
法線の傾きは、接線の傾き −e-e に対して垂直なので、1e\frac{1}{e} となります。
法線の方程式は、y−(e−1)=1e(x−(−1))y - (e-1) = \frac{1}{e}(x - (-1)) と表せます。
整理すると、y=1ex+1e+e−1y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{e} + e - 1
y=1ex+1+e2−eey = \frac{1}{e}x + \frac{1+e^2-e}{e}

3. 最終的な答え

接線の方程式は y=−ex−1y = -ex - 1
法線の方程式は y=1ex+1+e2−eey = \frac{1}{e}x + \frac{1+e^2-e}{e}

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