与えられた関数 $z$ の2階の偏導関数を求める問題です。いくつか関数が与えられていますが、ここでは例として (1) $ax^2 - bxy + cy^2$ の2階偏導関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ の2階の偏導関数を求める問題です。いくつか関数が与えられていますが、ここでは例として (1) $ax^2 - bxy + cy^2$ の2階偏導関数を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$z$ を $x$ で偏微分し、$z_x$ を求めます。

次に、$z_x$ を $x$ で偏微分して、$z_{xx}$ を求めます。

同様に、$z$ を $y$ で偏微分し、$z_y$ を求めます。

次に、$z_y$ を $y$ で偏微分して、$z_{yy}$ を求めます。

最後に、$z_x$ を $y$ で偏微分して、$z_{xy}$ を求めます。

あるいは、$z_y$ を $x$ で偏微分して、$z_{yx}$ を求めることもできますが、$z_{xy} = z_{yx}$ となります。

(1) $z = ax^2 - bxy + cy^2$ の場合:

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2ax - by$

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(2ax - by) = 2a$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -bx + 2cy$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(-bx + 2cy) = 2c$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(-bx + 2cy) = -b$

3. 最終的な答え

(1) $z = ax^2 - bxy + cy^2$ の2階偏導関数は以下の通りです。

$z_{xx} = 2a$

$z_{yy} = 2c$

$z_{xy} = -b$