$a > 0$ のとき、不等式 $\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$ を平均値の定理を用いて証明します。

1. 問題の内容

$a > 0$ のとき、不等式 $\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$ を平均値の定理を用いて証明します。

2. 解き方の手順

平均値の定理は、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続、開区間 $(a, b)$ で微分可能であるとき、

$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < b$ に少なくとも1つ存在する、というものです。

まず、$f(x) = \log x$ とおきます。$f(x)$ は $x>0$ で連続かつ微分可能です。

区間 $[a, a+1]$ で平均値の定理を用いると、

$$\frac{\log(a+1) - \log(a)}{(a+1) - a} = \frac{\log(a+1) - \log(a)}{1} = \log(a+1) - \log(a) = f'(c)$$

を満たす $c$ が $a < c < a+1$ に存在します。

ここで、$f'(x) = \frac{1}{x}$ なので、

$$f'(c) = \frac{1}{c}$$

したがって、

$$\log(a+1) - \log(a) = \frac{1}{c}$$

つまり、

$$\log(a+1) = \log(a) + \frac{1}{c}$$

次に、$a > 0$ より $\log(a) < \log(a+1)$ なので、

$\log(a+1) > 0$　であることは明らかです。

不等式 $\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$ を証明するため、以下の2つの不等式をそれぞれ証明します。

(i) $\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a}$

(ii) $\frac{\log(a+1)}{a} < 1$

(i) について:

$\frac{1}{a+1} < \frac{1}{c}$ より $\frac{1}{a+1} < \log(a+1) - \log(a)$ となります。

また、$a < c < a+1$ より $\frac{1}{a+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{a}$です。

よって、$\log(a+1) - \log(a) = \frac{1}{c}$なので $\frac{a}{a+1} < \frac{a}{c}$　つまり $\frac{a}{a+1} < a(\log(a+1) - \log(a))$となります。

$\log(a+1) - \log(a) = \log(\frac{a+1}{a})$なので$\frac{a}{a+1} < a\log(\frac{a+1}{a})$　となります。

ここで$\log(a+1) - \log(a) > \frac{1}{a+1}$　ということを利用します

$$\log(a+1) - \log(a) > \frac{1}{a+1} > 0$$

これを$a$倍すると

$$a(\log(a+1) - \log(a)) > \frac{a}{a+1}$$

$\frac{a}{a+1} < \log(a+1)$　が成り立つ必要があります。

(ii) について:

平均値の定理を $f(x) = \log(1+x)$ で区間 $[0, a]$ で用いると、

$$\frac{\log(1+a) - \log(1)}{a - 0} = \frac{\log(1+a)}{a} = f'(c)$$

を満たす $c$ が $0 < c < a$ に存在します。

ここで、$f'(x) = \frac{1}{1+x}$ なので、

$$f'(c) = \frac{1}{1+c}$$

したがって、

$$\frac{\log(1+a)}{a} = \frac{1}{1+c}$$

$c>0$ なので $1+c > 1$ より $\frac{1}{1+c} < 1$ となります。

したがって、$\frac{\log(1+a)}{a} < 1$

以上より、$\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$ が証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a+1} < \frac{\log(a+1)}{a} < 1$