(1) $5x + 3y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。 (2) $P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ を満たす多項式 $P(x), Q(x)$ について、 (1) $P(x)$ が1次式のとき、$P(x)$ と $Q(x)$ を求めよ。 (2) (1)で求めた $P(x), Q(x)$ をそれぞれ $P_0(x), Q_0(x)$ とする。多項式 $P(x), Q(x)$ が上の恒等式を満たすための必要かつ十分な条件は、ある多項式 $R(x)$ が存在して $P(x) = P_0(x) - R(x)(x^2+1)$ および $Q(x) = Q_0(x) + R(x)(x-1)$ の形に表せることである。このことを証明せよ。

1. 問題の内容

(1) $5x + 3y = 1$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

(2) $P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ を満たす多項式 $P(x), Q(x)$ について、

(1) $P(x)$ が1次式のとき、$P(x)$ と $Q(x)$ を求めよ。

(2) (1)で求めた $P(x), Q(x)$ をそれぞれ $P_0(x), Q_0(x)$ とする。多項式 $P(x), Q(x)$ が上の恒等式を満たすための必要かつ十分な条件は、ある多項式 $R(x)$ が存在して $P(x) = P_0(x) - R(x)(x^2+1)$ および $Q(x) = Q_0(x) + R(x)(x-1)$ の形に表せることである。このことを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $5x + 3y = 1$ の整数解を求める。

まず、$5x + 3y = 1$ の特殊解を一つ見つける。例えば、 $x = 2, y = -3$ が特殊解である。

したがって、$5(2) + 3(-3) = 1$ が成り立つ。

$5x + 3y = 1$ と $5(2) + 3(-3) = 1$ の差をとると、

$5(x - 2) + 3(y + 3) = 0$ となる。

これを変形すると、 $5(x - 2) = -3(y + 3)$ となる。

5と3は互いに素なので、$x - 2$ は3の倍数であり、$y + 3$ は5の倍数である。

よって、$x - 2 = 3k$ と $y + 3 = -5k$ ($k$ は整数) と書ける。

したがって、$x = 3k + 2$ と $y = -5k - 3$ が一般解となる。

(2) (1) $P(x)$ が1次式の場合、$P(x) = ax + b$ とおく。

$P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ に代入すると、

$(ax+b)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$

$ax^2 - ax + bx - b + Q(x)(x^2+1) = 1$

$Q(x)$ は定数である必要がある。なぜなら $Q(x)$ が1次以上の多項式だと $Q(x)(x^2+1)$ の次数が3以上となり、左辺の次数が2になってしまうからである。

したがって、$Q(x) = c$ とおくと、

$ax^2 + (b-a)x - b + c(x^2+1) = 1$

$(a+c)x^2 + (b-a)x + (c-b) = 1$

これが恒等式となるためには、各次数の係数が等しくなければならないので、

$a + c = 0$

$b - a = 0$

$c - b = 1$

これらの連立方程式を解くと、

$b = a$

$c = -a$

$-a - a = 1$

$-2a = 1$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = -\frac{1}{2}$

$c = \frac{1}{2}$

したがって、$P(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ と $Q(x) = \frac{1}{2}$

(2) (2)

$P(x) = P_0(x) - R(x)(x^2+1)$ かつ $Q(x) = Q_0(x) + R(x)(x-1)$ が成り立つとき、

$P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ を示す。

$P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = (P_0(x) - R(x)(x^2+1))(x-1) + (Q_0(x) + R(x)(x-1))(x^2+1)$

$= P_0(x)(x-1) - R(x)(x^2+1)(x-1) + Q_0(x)(x^2+1) + R(x)(x-1)(x^2+1)$

$= P_0(x)(x-1) + Q_0(x)(x^2+1) = 1$

よって、$P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ が成り立つ。

逆に、$P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ が成り立つとき、

$P(x) = P_0(x) - R(x)(x^2+1)$ かつ $Q(x) = Q_0(x) + R(x)(x-1)$ を満たす $R(x)$ が存在することを示す。

$P_0(x)(x-1) + Q_0(x)(x^2+1) = 1$ かつ $P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = 1$ より、

$P(x)(x-1) + Q(x)(x^2+1) = P_0(x)(x-1) + Q_0(x)(x^2+1)$

$(P(x) - P_0(x))(x-1) + (Q(x) - Q_0(x))(x^2+1) = 0$

$(P(x) - P_0(x))(x-1) = -(Q(x) - Q_0(x))(x^2+1)$

$P(x) - P_0(x)$ は $x^2+1$ の倍数である。 なぜなら $x-1$ と $x^2+1$ は互いに素であるから。

よって、$P(x) - P_0(x) = -R(x)(x^2+1)$ と書ける。すなわち、$P(x) = P_0(x) - R(x)(x^2+1)$。

これを代入すると、

$(-R(x)(x^2+1))(x-1) = -(Q(x) - Q_0(x))(x^2+1)$

$R(x)(x-1) = Q(x) - Q_0(x)$

よって、$Q(x) = Q_0(x) + R(x)(x-1)$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 3k + 2$, $y = -5k - 3$ （$k$ は整数）

(2) (1) $P(x) = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, $Q(x) = \frac{1}{2}$

(2) 証明は上記参照