(8) 2次関数 $y = 2x^2 + 8x - 5$ の最大値と最小値を求める。 (9) $-5 \le x \le 0$ における2次関数 $y = 2x^2 + 12x + 13$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(8) 2次関数 $y = 2x^2 + 8x - 5$ の最大値と最小値を求める。

(9) $-5 \le x \le 0$ における2次関数 $y = 2x^2 + 12x + 13$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(8)

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 8x - 5 = 2(x^2 + 4x) - 5$

$y = 2(x^2 + 4x + 4 - 4) - 5 = 2((x+2)^2 - 4) - 5$

$y = 2(x+2)^2 - 8 - 5 = 2(x+2)^2 - 13$

この2次関数は下に凸な放物線である。頂点は $(-2, -13)$。

$x$ の範囲に制限がないので、最大値は存在せず、最小値は $x=-2$ のとき $y=-13$。

(9)

与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 12x + 13 = 2(x^2 + 6x) + 13$

$y = 2(x^2 + 6x + 9 - 9) + 13 = 2((x+3)^2 - 9) + 13$

$y = 2(x+3)^2 - 18 + 13 = 2(x+3)^2 - 5$

この2次関数は下に凸な放物線である。頂点は $(-3, -5)$。

定義域は $-5 \le x \le 0$ である。

$x=-3$ はこの定義域に含まれるので、$x=-3$ で最小値 $y=-5$ をとる。

次に、定義域の両端での値を調べる。

$x=-5$ のとき $y = 2(-5+3)^2 - 5 = 2(-2)^2 - 5 = 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3$

$x=0$ のとき $y = 2(0+3)^2 - 5 = 2(3)^2 - 5 = 2(9) - 5 = 18 - 5 = 13$

よって、最大値は $x=0$ のとき $y=13$ である。

3. 最終的な答え

(8)

最大値：なし

最小値：$x = -2$ のとき $y = -13$

(9)

最大値：$x = 0$ のとき $y = 13$

最小値：$x = -3$ のとき $y = -5$