一辺が1cmの正方形を規則的に並べた図形について、以下の問いに答えます。 (1) 4番目の図形の周の長さを求めます。 (2) $n$番目の図形の周の長さを$n$を用いて表します。 (3) 周の長さが74cmである図形の面積を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

一辺が1cmの正方形を規則的に並べた図形について、以下の問いに答えます。

(1) 4番目の図形の周の長さを求めます。

(2) $n$番目の図形の周の長さを$n$を用いて表します。

(3) 周の長さが74cmである図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 1番目の図形の周の長さは8cm、2番目の図形の周の長さは14cm、3番目の図形の周の長さは20cmです。

周の長さは6cmずつ増えているので、4番目の図形の周の長さは20cm + 6cm = 26cmです。

(2) $n$番目の図形の周の長さを$L_n$とすると、$L_1 = 8$, $L_2 = 14$, $L_3 = 20$であることから、等差数列であることがわかります。

初項$a = 8$, 公差$d = 6$であるので、

$L_n = a + (n-1)d = 8 + (n-1)6 = 8 + 6n - 6 = 6n + 2$

したがって、$n$番目の図形の周の長さは$6n + 2$ cmです。

(3) 周の長さが74cmの図形が$n$番目の図形であるとすると、

$6n + 2 = 74$

$6n = 72$

$n = 12$

したがって、12番目の図形の周の長さが74cmです。

1番目の図形の面積は4cm$^2$、2番目の図形の面積は8cm$^2$、3番目の図形の面積は12cm$^2$なので、$n$番目の図形の面積は$4n$ cm$^2$であることがわかります。

したがって、12番目の図形の面積は$4 \times 12 = 48$ cm$^2$です。

3. 最終的な答え

(1) 4番目の図形の周の長さは 26 cm

(2) $n$番目の図形の周の長さは $6n + 2$ cm

(3) 周の長さが74cmである図形の面積は 48 cm$^2$