3つの問題があります。 * 問題1: $F(z) = z + \overline{z}$ は複素数平面 $\mathbb{C}$ 上の正則関数であるか。 * 問題2: $F(z) = z^3$ は複素数平面 $\mathbb{C}$ 上の正則関数であるか。 * 問題3: 正則関数が満たす公式として適切なものを一つ選ぶ。選択肢は以下の通り。 1. ディリクレの類数公式 2. コーシーの積分公式 3. ガウス・ワインガルテンの公式 4. ブラシュケの基本公式

1. 問題の内容

3つの問題があります。

* 問題1: $F(z) = z + \overline{z}$ は複素数平面 $\mathbb{C}$ 上の正則関数であるか。

* 問題2: $F(z) = z^3$ は複素数平面 $\mathbb{C}$ 上の正則関数であるか。

* 問題3: 正則関数が満たす公式として適切なものを一つ選ぶ。選択肢は以下の通り。

1. ディリクレの類数公式

2. コーシーの積分公式

3. ガウス・ワインガルテンの公式

4. ブラシュケの基本公式

2. 解き方の手順

* 問題1:

$z = x + iy$ とおくと、$\overline{z} = x - iy$。したがって、$F(z) = z + \overline{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x$。

正則関数であるためには、コーシー・リーマンの関係式を満たす必要があります。$F(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ とすると、$u(x, y) = 2x$ であり、$v(x, y) = 0$。

コーシー・リーマンの関係式は、$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ かつ $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$。

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2$、$\frac{\partial v}{\partial y} = 0$ より、$\frac{\partial u}{\partial x} \neq \frac{\partial v}{\partial y}$ なので、コーシー・リーマンの関係式を満たしません。

したがって、$F(z) = z + \overline{z}$ は正則関数ではありません。

* 問題2:

$F(z) = z^3$ は多項式関数なので、複素数平面全体で正則です。

* 問題3:

正則関数が満たす公式として最も適切なものは、コーシーの積分公式です。

3. 最終的な答え

* 問題1: 1 (不正則)

* 問題2: 2 (正則)

* 問題3: 2 (コーシーの積分公式)