与えられた式 $\log_e 3e - \frac{1}{2} \log_e 9\sqrt{e}$ を計算し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $\log_e 3e - \frac{1}{2} \log_e 9\sqrt{e}$ を計算し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を変形します。

$\log_e 3e - \frac{1}{2} \log_e 9\sqrt{e}$

対数の性質を利用します。$\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ および $\log_a x^n = n \log_a x$

$\log_e 3e = \log_e 3 + \log_e e = \log_e 3 + 1$

$\log_e 9\sqrt{e} = \log_e 9 + \log_e \sqrt{e} = \log_e 3^2 + \log_e e^{1/2} = 2\log_e 3 + \frac{1}{2}\log_e e = 2\log_e 3 + \frac{1}{2}$

与えられた式に代入すると、

$\log_e 3 + 1 - \frac{1}{2} (2\log_e 3 + \frac{1}{2}) = \log_e 3 + 1 - \log_e 3 - \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$