点A(4, 3)、B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ がある。点Aを通り、$l$ に平行な直線を $m$ とする。点Oは原点とする。 (i) △OABの面積を求めよ。 (ii) 直線 $m$ の式を求めよ。 (iii) 直線 $m$ 上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

1. 問題の内容

点A(4, 3)、B(4, -4)と直線 $l: y = 3x$ がある。点Aを通り、$l$ に平行な直線を $m$ とする。点Oは原点とする。

(i) △OABの面積を求めよ。

(ii) 直線 $m$ の式を求めよ。

(iii) 直線 $m$ 上にy座標が負である点Cを、△OABと△OACの面積が等しくなるようにとる。点Cの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) △OABの面積を求める。

Aのx座標とBのx座標が同じなので、ABを底辺とすると、高さはx軸からの距離となる。

ABの長さは、Aのy座標 - Bのy座標 = 3 - (-4) = 7

原点OからABまでのx軸方向の距離は、AまたはBのx座標の絶対値なので4。

△OABの面積 = (1/2) * 7 * 4 = 14

(ii) 直線 $m$ の式を求める。

直線 $m$ は、直線 $l: y = 3x$ に平行なので、傾きは3である。

よって、$y = 3x + b$ とおける。

直線 $m$ は点A(4, 3)を通るので、この座標を代入する。

$3 = 3*4 + b$

$3 = 12 + b$

$b = -9$

したがって、直線 $m$ の式は $y = 3x - 9$ となる。

(iii) 点Cの座標を求める。

点Cは直線 $m$ 上にあるので、$y = 3x - 9$ を満たす。

△OABの面積と△OACの面積が等しいので、△OABの面積は14である。

△OACの面積が14となるような点Cの座標を求める。

△OACの底辺をOAとすると、OAの長さは$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。

点CからOAまでの距離をhとすると、

$(1/2) * OA * h = 14$ より、$(1/2) * 5 * h = 14$。

$h = 28/5 = 5.6$

しかし、この方法だと計算が複雑になる。

別の解き方として、△OACの底辺をOAとしたときの高さが、△OABの底辺をABとしたときの高さと等しいことを利用する。△OABにおいてABを底辺とするとき、OからABまでの距離は4である。同様に△OACにおいてOAを底辺とすると、点Cから直線OAまでの距離が4である。直線OAの式は $y = \frac{3}{4}x$ である。点Cの座標を(x, y)とおくと、点と直線の距離の公式より、

$\frac{|3x - 4y|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 4$

$|3x - 4y| = 4 * 5 = 20$

$y = 3x - 9$ なので、代入して

$|3x - 4(3x - 9)| = 20$

$|3x - 12x + 36| = 20$

$|-9x + 36| = 20$

$-9x + 36 = 20$ または $-9x + 36 = -20$

$-9x = -16$ または $-9x = -56$

$x = \frac{16}{9}$ または $x = \frac{56}{9}$

$y = 3x - 9$ に代入する。

$x = \frac{16}{9}$ のとき、$y = 3 * \frac{16}{9} - 9 = \frac{16}{3} - \frac{27}{3} = -\frac{11}{3}$

$x = \frac{56}{9}$ のとき、$y = 3 * \frac{56}{9} - 9 = \frac{56}{3} - \frac{27}{3} = \frac{29}{3}$

y座標が負であるのは、$x = \frac{16}{9}$, $y = -\frac{11}{3}$ の場合である。

したがって、点Cの座標は$(\frac{16}{9}, -\frac{11}{3})$。

3. 最終的な答え

(i) △OABの面積: 14

(ii) 直線 $m$ の式: $y = 3x - 9$

(iii) 点Cの座標: $(\frac{16}{9}, -\frac{11}{3})$