複素数 $\alpha$ と $\beta$ について、以下の等式が与えられています。 $$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$$ (1) $|\alpha| = 1$, $|\beta| = 1$ のとき、この等式が成立することを示します。 (2) この等式を満たす $\alpha$, $\beta$ について、$\alpha + \beta = 0$ または $|\alpha\beta| = 1$ となることを示します。 (3) $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されるとき、この等式を満たす $\beta$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解説します。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ について、以下の等式が与えられています。

$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$$

(1) $|\alpha| = 1$, $|\beta| = 1$ のとき、この等式が成立することを示します。

(2) この等式を満たす $\alpha$, $\beta$ について、$\alpha + \beta = 0$ または $|\alpha\beta| = 1$ となることを示します。

(3) $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ と表されるとき、この等式を満たす $\beta$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha\overline{\alpha} = 1$ より、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ が成り立ちます。同様に、 $|\beta| = 1$ のとき、$\overline{\beta} = \frac{1}{\beta}$ が成り立ちます。

したがって、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ が成立します。

(2) 与えられた等式 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ の両辺に $\alpha\beta$ を掛けると、

$$\beta + \alpha = \alpha\beta(\overline{\alpha} + \overline{\beta})$$

$$\alpha + \beta = \alpha\beta\overline{\alpha} + \alpha\beta\overline{\beta}$$

ここで、$\alpha\overline{\alpha} = |\alpha|^2$、$\beta\overline{\beta} = |\beta|^2$ であることを利用します。

$$\alpha + \beta = \beta|\alpha|^2 + \alpha|\beta|^2$$

$$\alpha + \beta - (\beta|\alpha|^2 + \alpha|\beta|^2)= 0$$

$(\alpha + \beta) - \beta |\alpha|^2 - \alpha |\beta|^2 = 0$ より、

$(\alpha + \beta) - \alpha\beta (\overline{\alpha} + \overline{\beta}) = 0$

$(\alpha + \beta)(1 - \alpha \overline{\alpha} \frac{\beta}{\alpha} - \beta \overline{\beta}\frac{\alpha}{\beta}) = (\alpha + \beta)(1-\overline{\alpha\beta})=0$

したがって、$\alpha + \beta = 0$ または $\overline{\alpha \beta} = 1$ が成り立ちます。

$\overline{\alpha \beta} = 1$ は $|\alpha\beta|^2 = 1$, つまり $|\alpha\beta| = 1$ と同値です。

よって、$\alpha + \beta = 0$ または $|\alpha\beta| = 1$ が示されました。

(3) $\alpha = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ と表されるとき、与えられた等式

$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ を満たす $\beta$ を求めます。

$\beta = x + iy$ とおくと、$\frac{1}{r(\cos\theta + i\sin\theta)} + \frac{1}{x+iy} = r(\cos\theta - i\sin\theta) + x - iy$

$\frac{1}{r}(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)) + \frac{x-iy}{x^2+y^2} = r(\cos\theta - i\sin\theta) + x - iy$

$\frac{1}{r}\cos\theta + \frac{x}{x^2+y^2} + i(\frac{-1}{r}\sin\theta - \frac{y}{x^2+y^2}) = r\cos\theta + x + i(-r\sin\theta - y)$

実部と虚部を比較します。

$\frac{1}{r}\cos\theta + \frac{x}{x^2+y^2} = r\cos\theta + x$

$\frac{-1}{r}\sin\theta - \frac{y}{x^2+y^2} = -r\sin\theta - y$

$\frac{x}{x^2+y^2} - x = r\cos\theta - \frac{1}{r}\cos\theta = \cos\theta (r - \frac{1}{r})$

$x(1-\frac{1}{x^2+y^2}) = \cos\theta (\frac{r^2-1}{r})$

$\frac{y}{x^2+y^2} - y = r\sin\theta - \frac{1}{r}\sin\theta = \sin\theta (r - \frac{1}{r})$

$y(1-\frac{1}{x^2+y^2}) = \sin\theta (\frac{r^2-1}{r})$

$\alpha + \beta = 0$のとき、 $\beta = -\alpha = -r(\cos\theta + i\sin\theta) = r(\cos(\theta + \pi) + i\sin(\theta + \pi))$

$|\alpha \beta|=1$のとき、 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$より、

$\beta = \frac{1}{\overline{\alpha}} = \frac{1}{r (\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))}= \frac{1}{r}(\cos\theta+i\sin\theta)$.

$|\alpha \beta|=1$より、$|r||\beta|=1$. $|\beta|= \frac{1}{|r|}$.

3. 最終的な答え

(1) $|\alpha| = 1$, $|\beta| = 1$ のとき、$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \overline{\alpha} + \overline{\beta}$ が成立する。

(2) $\alpha + \beta = 0$ または $|\alpha\beta| = 1$

(3) $\beta = -r(\cos\theta + i\sin\theta)$ または $\beta = \frac{1}{r}(\cos\theta + i\sin\theta)$