与えられた二次関数の最大値、最小値を求める問題です。 (1) 関数 $y = 2x^2 - 12x + 5$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。 (2) 関数 $y = -2x^2 - 6x + 1$ ($ -1 \le x \le 1$) の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。 (3) 関数 $y = -x^2 + 8x + c$ ($ 1 \le x \le 5$) の最小値が $-2$ であるときの定数 $c$ の値と、そのときの最大値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた二次関数の最大値、最小値を求める問題です。

(1) 関数 $y = 2x^2 - 12x + 5$ の最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

(2) 関数 $y = -2x^2 - 6x + 1$ ($-1 \le x \le 1$) の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

(3) 関数 $y = -x^2 + 8x + c$ ($1 \le x \le 5$) の最小値が $-2$ であるときの定数 $c$ の値と、そのときの最大値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $y = 2x^2 - 12x + 5$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - 6x) + 5 = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 5 = 2(x - 3)^2 - 18 + 5 = 2(x - 3)^2 - 13$

$x = 3$ のとき最小値 $-13$ をとります。

(2)

関数 $y = -2x^2 - 6x + 1$ を平方完成します。

$y = -2(x^2 + 3x) + 1 = -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 1 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 1 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}$

軸は $x = -\frac{3}{2}$ です。定義域は $-1 \le x \le 1$ なので、軸は範囲外です。

$x = -1$ のとき $y = -2(-1)^2 - 6(-1) + 1 = -2 + 6 + 1 = 5$

$x = 1$ のとき $y = -2(1)^2 - 6(1) + 1 = -2 - 6 + 1 = -7$

したがって、 $x = -1$ で最大値 $5$ をとり、 $x = 1$ で最小値 $-7$ をとります。

(3)

関数 $y = -x^2 + 8x + c$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 8x) + c = -(x^2 - 8x + 16 - 16) + c = -(x - 4)^2 + 16 + c$

軸は $x = 4$ です。定義域は $1 \le x \le 5$ なので、軸は範囲内です。

最小値は $x = 1$ のとき、 $y = -(1 - 4)^2 + 16 + c = -9 + 16 + c = 7 + c$

最小値は $x = 5$ のとき、 $y = -(5 - 4)^2 + 16 + c = -1 + 16 + c = 15 + c$

したがって、$x=1$のとき最小値$7+c$をとります。問題より$7+c = -2$なので、$c = -9$です。

このとき、$y = -x^2 + 8x - 9$ であり、軸は $x = 4$ です。定義域は $1 \le x \le 5$ なので、$x = 4$ のとき最大値をとります。

$x = 4$ のとき、$y = -(4 - 4)^2 + 16 + (-9) = 0 + 16 - 9 = 7$

したがって、最大値は $7$ です。

3. 最終的な答え

(1)

$x = 3$ で最小値 $-13$ をとる。

(2)

$x = -1$ で最大値 $5$ をとる。

$x = 1$ で最小値 $-7$ をとる。

(3)

$c = -9$ である。また、そのときの最大値は $7$ である。