3次関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ について、以下の値を求める問題です。 (1) 極大値と極小値の和 (2) 極大値と極小値の差 (3) 極小値とそのときの $x$ の値

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 6x + 5$ について、以下の値を求める問題です。

(1) 極大値と極小値の和

(2) 極大値と極小値の差

(3) 極小値とそのときの $x$ の値

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 6$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは極値を与える $x$ の候補です。

$3x^2 - 12x + 6 = 0$

$x^2 - 4x + 2 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$

よって、$x = 2 + \sqrt{2}$ と $x = 2 - \sqrt{2}$ が極値を与える $x$ の候補です。

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = 6x - 12$

$x = 2 + \sqrt{2}$ のとき、

$f''(2 + \sqrt{2}) = 6(2 + \sqrt{2}) - 12 = 12 + 6\sqrt{2} - 12 = 6\sqrt{2} > 0$

よって、$x = 2 + \sqrt{2}$ で極小値を持ちます。

極小値は $f(2 + \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})^3 - 6(2 + \sqrt{2})^2 + 6(2 + \sqrt{2}) + 5$

$= (8 + 12\sqrt{2} + 12 + 2\sqrt{2}) - 6(4 + 4\sqrt{2} + 2) + 12 + 6\sqrt{2} + 5$

$= 20 + 14\sqrt{2} - 6(6 + 4\sqrt{2}) + 17 + 6\sqrt{2}$

$= 20 + 14\sqrt{2} - 36 - 24\sqrt{2} + 17 + 6\sqrt{2}$

$= 1 + (-4\sqrt{2})$

$= 1 - 4\sqrt{2}$

$x = 2 - \sqrt{2}$ のとき、

$f''(2 - \sqrt{2}) = 6(2 - \sqrt{2}) - 12 = 12 - 6\sqrt{2} - 12 = -6\sqrt{2} < 0$

よって、$x = 2 - \sqrt{2}$ で極大値を持ちます。

極大値は $f(2 - \sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})^3 - 6(2 - \sqrt{2})^2 + 6(2 - \sqrt{2}) + 5$

$= (8 - 12\sqrt{2} + 12 - 2\sqrt{2}) - 6(4 - 4\sqrt{2} + 2) + 12 - 6\sqrt{2} + 5$

$= 20 - 14\sqrt{2} - 6(6 - 4\sqrt{2}) + 17 - 6\sqrt{2}$

$= 20 - 14\sqrt{2} - 36 + 24\sqrt{2} + 17 - 6\sqrt{2}$

$= 1 + 4\sqrt{2}$

(1) 極大値と極小値の和

$(1 + 4\sqrt{2}) + (1 - 4\sqrt{2}) = 2$

(2) 極大値と極小値の差

$(1 + 4\sqrt{2}) - (1 - 4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$

(3) 極小値とそのときの $x$ の値

極小値は $1 - 4\sqrt{2}$、そのときの $x$ の値は $2 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) 極大値と極小値の和: 2

(2) 極大値と極小値の差: $8\sqrt{2}$

(3) 極小値とそのときの $x$ の値: 極小値 $1 - 4\sqrt{2}$、 $x = 2 + \sqrt{2}$