$x=1$ で極大値 $5$ をとり、$x=3$ で極小値 $1$ をとる3次関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

$x=1$ で極大値 $5$ をとり、$x=3$ で極小値 $1$ をとる3次関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

3次関数 $f(x)$ は一般的に $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と表せる。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$x=1$で極大値5をとるので、$f(1) = 5$ かつ $f'(1) = 0$

$x=3$で極小値1をとるので、$f(3) = 1$ かつ $f'(3) = 0$

これより、以下の4つの式を得る。

$f(1) = a + b + c + d = 5$

$f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0$

$f'(3) = 27a + 6b + c = 0$

$f'(3) - f'(1) = 24a + 4b = 0$ より、$6a + b = 0$ なので、$b = -6a$

$f'(1) = 3a + 2(-6a) + c = 0$ より、$c = 9a$

$f(1) = a + (-6a) + 9a + d = 5$ より、$4a + d = 5$

$f(3) = 27a + 9(-6a) + 3(9a) + d = 1$ より、$27a - 54a + 27a + d = 1$ なので、$d = 1$

$4a + 1 = 5$ より、$4a = 4$ なので、$a = 1$

したがって、$b = -6$, $c = 9$

よって、$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$