三角形ABCにおいて、$a = 4$, $c = 9$, $\cos{\angle ABC} = \frac{2}{3}$のとき、$b$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a = 4$, $c = 9$, $\cos{\angle ABC} = \frac{2}{3}$のとき、$b$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$b$の値を求めます。

余弦定理は以下の通りです。

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos{\angle ABC}$

与えられた値を代入します。

$b^2 = 4^2 + 9^2 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \frac{2}{3}$

$b^2 = 16 + 81 - 48$

$b^2 = 97 - 48$

$b^2 = 49$

$b = \sqrt{49}$

$b = 7$

ただし、$b$は辺の長さなので正の値をとります。

3. 最終的な答え

$b = 7$