正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正六面体の体積が8であるとき、正八面体の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正六面体の体積が8であるとき、正八面体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正八面体の各面の重心を結んで内側にできる正六面体の一辺の長さを求める。正六面体の体積が8なので、その一辺の長さは $x^3 = 8$ より $x = 2$ である。

次に、正八面体の1辺の長さを $a$ とする。正八面体の各面の重心を結んでできる正六面体の一辺の長さは、正八面体の1辺の長さ $a$ と、正四面体の高さの関係を利用して求める。正四面体の一辺の長さが $a$ のとき、高さは $\frac{\sqrt{6}}{3}a$ である。

ここで、正八面体を構成する2つの四角錐を考える。それぞれの四角錐の底面は正方形で、その対角線の交点から頂点までの距離は$\frac{\sqrt{6}}{3}a$となる。そして、正六面体の一辺の長さは四角錐の高さ方向の長さの中央部分にあたる。具体的には、正六面体の一辺の長さは、正四面体の高さ$\frac{\sqrt{6}}{3}a$から、頂点から重心までの距離$\frac{1}{3}$を引いたものが2つ分なので、$\frac{\sqrt{2}}{3} a$となる。

したがって、正六面体の一辺の長さは$\frac{\sqrt{2}}{3} a = 2$ となるので、これを解いて $a = 3\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}$