大円の中に面積の等しい2つの小円が内接している。小円1つの面積と体積をそれぞれ1としたときの大円の面積比と、大円と小円1つの直径を回転軸として1回転させた時の体積比を求めよ。

1. 問題の内容

大円の中に面積の等しい2つの小円が内接している。小円1つの面積と体積をそれぞれ1としたときの大円の面積比と、大円と小円1つの直径を回転軸として1回転させた時の体積比を求めよ。

2. 解き方の手順

* **面積比の計算:**

小円の面積を1とする。図から、大円の半径は小円の半径の2倍であることがわかる。

円の面積は $面積 = \pi r^2$ で表される。

小円の半径を $r$ とすると、面積は $\pi r^2 = 1$ 。

大円の半径は $2r$ なので、面積は $\pi (2r)^2 = 4 \pi r^2 = 4$ 。

したがって、大円の面積は小円の面積の4倍となるので、面積比は4:1 (小円：大円)。 問題文の条件に合わせると、大円の面積比は4となる。

* **体積比の計算:**

大円と小円の直径を回転軸として回転させたときの体積は、それぞれ球の体積となる。

球の体積は $体積 = \frac{4}{3}\pi r^3$ で表される。

小円の半径を $r$ とすると、体積は $\frac{4}{3}\pi r^3$ 。これを1とする。

大円の半径は $2r$ なので、体積は $\frac{4}{3}\pi (2r)^3 = \frac{4}{3}\pi 8r^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 8$ 。

したがって、大円の体積は小円の体積の8倍となるので、体積比は8:1 (小円：大円)。問題文の条件に合わせると、大円の体積比は8となる。

3. 最終的な答え

面積比は4、体積比は8。したがって、答えは4:8である。