3つの点 $S_1, S_2, S_3$ があり、そこから平面 $\alpha$ に垂線を下ろし、その交点をそれぞれ $A, B, C$ とします。$AB = 8$, $BC = 7$, $AC = 3$ であるとき、$\angle BAC$ の大きさを求めます。

1. 問題の内容

3つの点 $S_1, S_2, S_3$ があり、そこから平面 $\alpha$ に垂線を下ろし、その交点をそれぞれ $A, B, C$ とします。$AB = 8$, $BC = 7$, $AC = 3$ であるとき、$\angle BAC$ の大きさを求めます。

2. 解き方の手順

$\triangle ABC$ に対して余弦定理を用いることで、$\cos \angle BAC$ を計算します。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

これに与えられた数値を代入すると、

$7^2 = 8^2 + 3^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cos \angle BAC$

$49 = 64 + 9 - 48 \cos \angle BAC$

$49 = 73 - 48 \cos \angle BAC$

$48 \cos \angle BAC = 73 - 49 = 24$

$\cos \angle BAC = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

$\cos \angle BAC = \frac{1}{2}$ なので、$\angle BAC = 60^\circ$ となります。

3. 最終的な答え

$\angle BAC = 60^\circ$