平面上に点Pがあり、$AP=x$, $BP=y$, $CP=z$とする。 (i) $x=y=z$のとき、$x=y=z$の値を求め、$cos \angle PAB$を計算し、$\angle PAB$の大きさを選択肢から選ぶ。 (ii) $x=2\sqrt{3}$, $y=2\sqrt{7}$のとき、$\angle PAB$を求め、$z$の値を求める。

1. 問題の内容

平面上に点Pがあり、$AP=x$, $BP=y$, $CP=z$とする。

(i) $x=y=z$のとき、$x=y=z$の値を求め、$cos \angle PAB$を計算し、$\angle PAB$の大きさを選択肢から選ぶ。

(ii) $x=2\sqrt{3}$, $y=2\sqrt{7}$のとき、$\angle PAB$を求め、$z$の値を求める。

2. 解き方の手順

(i)

$x=y=z=r$ とすると、A, B, Cは点Pを中心とする半径rの円周上にある。

三角形ABCは正三角形なので、その外接円の半径は、正三角形の一辺の長さをaとすると $r=\frac{a}{\sqrt{3}}$となる。

したがって、$x=y=z=\frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4$ 。

よって、チ = 4, ツ = 3, テ = 3。

$AP=x=4$, $AB=4\sqrt{3}$, $BP=y=4$。

余弦定理より、$BP^2 = AP^2 + AB^2 - 2 AP \cdot AB \cos \angle PAB$

$4^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} \cos \angle PAB$

$16 = 16 + 48 - 32\sqrt{3} \cos \angle PAB$

$0 = 48 - 32\sqrt{3} \cos \angle PAB$

$32\sqrt{3} \cos \angle PAB = 48$

$\cos \angle PAB = \frac{48}{32\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、ト = 1, ナ = 3, ニ = 2。

$\cos \angle PAB = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\angle PAB = 30^\circ = \frac{\pi}{6}$。これは選択肢にないため、問題文に「ただし、$\sqrt{2} = 1.41$, $\sqrt{3} = 1.73$, $\sqrt{5} = 2.23$とする。」とあることに注意すると、$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.73}{2} = 0.865$となる。 $cos(30^\circ)=0.866$ であり、選択肢の角度が非常に小さいことを考慮すると、単位が度数法でなく弧度法である可能性がある。

$\cos^{-1}(0.865) \approx 30.12^\circ$ なので、30°に近い。

(ii)

$x = 2\sqrt{3}, y = 2\sqrt{7}$のとき、$\angle PAB$を求める。

$AP = 2\sqrt{3}$, $BP = 2\sqrt{7}$, $AB = 4\sqrt{3}$

余弦定理より、$BP^2 = AP^2 + AB^2 - 2 AP \cdot AB \cos \angle PAB$

$(2\sqrt{7})^2 = (2\sqrt{3})^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 (2\sqrt{3}) (4\sqrt{3}) \cos \angle PAB$

$28 = 12 + 48 - 48 \cos \angle PAB$

$28 = 60 - 48 \cos \angle PAB$

$48 \cos \angle PAB = 32$

$\cos \angle PAB = \frac{32}{48} = \frac{2}{3}$

$\angle PAB = \cos^{-1} (\frac{2}{3}) \approx 48.19^\circ$

よって、ネノ = 48。

CP = z = 0 または $z=2 \sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(i)

x = y = z = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

cos ∠PAB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

∠PABの大きさはヌ: 選択肢なし

(ii)

∠PAB = 48°

z = $\sqrt{0}$ または z = $\sqrt{20}$

したがって、チ=4, ツ=3, テ=3, ト=1, ナ=3, ニ=2, ヌ：選択肢なし, ネノ=48, ハ=0, ヒフ=20

訂正:

(i) x = y = z = $\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=4,

チ=4, ツ=3, テ=3,

ト=1, ナ=3, 二=2

角度は30度なので，該当する選択肢はない．

(ii) ネノ=48

$z = 0$または$z = 2\sqrt{5} = \sqrt{20}$

ハ=0, ヒフ=20