正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正八面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求める。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側に作った正八面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求める。

2. 解き方の手順

元の正八面体の1辺の長さを $a$ とする。内側にできる正八面体は、元の正八面体の各面を底面とする正四面錐を切り取った残りの部分である。内側の正八面体の1辺の長さは、元の正八面体の1辺の長さの $1/3$ になる。したがって、内側の正八面体の1辺の長さは $a/3$ となる。

体積比は相似比の3乗に等しいので、元の正八面体の体積を $V$ とすると、内側の正八面体の体積は $(1/3)^3 V = V/27$ となる。しかし、内側の正八面体の体積は8と与えられているので、$V/27 = 8$。したがって、$V = 8 \times 27 = 216$ となる。

正八面体は、正四角錐2つを底面で張り合わせた形とみなせる。正四角錐の体積は (1/3)×底面積×高さ である。正八面体の1辺の長さを $a$ とすると、底面積は $a^2$ に比例し、高さは $a$ に比例する。

正八面体の体積 $V$ は、$V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^3$ で表される。

$V = 216$ より、$\frac{\sqrt{2}}{3} a^3 = 216$。したがって、$a^3 = \frac{216 \times 3}{\sqrt{2}} = \frac{648}{\sqrt{2}} = \frac{648\sqrt{2}}{2} = 324\sqrt{2}$。

問題文に「正六面体」と書いてあるため、これは正八面体ではなく立方体である。

元の正八面体の各面の重心を結んで作られた正六面体（立方体）の一辺の長さを $x$ とする。

立方体の体積は $x^3 = 8$ であるから、$x=2$。

元の正八面体の1辺の長さを $a$ とする。

立方体の一辺の長さは正八面体の1辺の長さの $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 倍であるから、$x = \frac{\sqrt{2}}{3} a$。

$2 = \frac{\sqrt{2}}{3} a$ なので、$a = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{2}$