長方形ABCDにおいて、点PはAを出発してAB, BC上を毎秒1cmでCまで動き、点QはDを出発してDC上を毎秒1cmでCまで動く。P, Qが同時に出発して$x$秒後の三角形APQの面積を$S \text{cm}^2$とする。$x$と$S$の関係を表すグラフが与えられている。 (1) 辺AB, 辺BCの長さをそれぞれ求めよ。 (2) 点Pが辺BC上を動くとき、$S$を$x$を用いて表せ。また、そのときの$x$の変域を求めよ。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点PはAを出発してAB, BC上を毎秒1cmでCまで動き、点QはDを出発してDC上を毎秒1cmでCまで動く。P, Qが同時に出発して$x$秒後の三角形APQの面積を$S \text{cm}^2$とする。$x$と$S$の関係を表すグラフが与えられている。

(1) 辺AB, 辺BCの長さをそれぞれ求めよ。

(2) 点Pが辺BC上を動くとき、$S$を$x$を用いて表せ。また、そのときの$x$の変域を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

図2のグラフより、$x = 6$のとき$S$が最大値12をとることがわかる。このとき、点PはAB上にある。

三角形APQの面積$S$は、$S = \frac{1}{2} \times \text{AP} \times \text{AD} = \frac{1}{2} \times x \times \text{AD}$となる。

$x = 6$のとき、$S = 12$だから、$12 = \frac{1}{2} \times 6 \times \text{AD}$。

よって、$\text{AD} = 4$。つまり、$\text{BC} = 4$ cm。

また、PがAB上を動く時間は6秒なので、$\text{AB} = 6$ cm。

(2)

点PがBC上を動くとき、$6 \le x \le 10$（点PがCに到達するまで）。点QはDC上にあるので，$0 \le x \le 6$ (DC = 6cm)。

点Pが辺BC上にあるとき、$\text{BP} = x - 6$、$\text{PC} = 4 - (x - 6) = 10 - x$。

$\text{AP} = \sqrt{\text{AB}^2 + \text{BP}^2} = \sqrt{6^2 + (x-6)^2}$

$\text{DQ} = x$より、$\text{CQ} = 6 - x$。

このとき、三角形APQの面積Sは、台形ABCDの面積から三角形ABP, 三角形PCQ, 三角形ADQの面積を引いたものになる。

台形ABCDの面積は、$\frac{1}{2} (6 + 6) \times 4 = 24$。

三角形ABPの面積は、$\frac{1}{2} \times 6 \times (x - 6) = 3x - 18$。

三角形PCQの面積は、$\frac{1}{2} \times (10 - x) \times (6 - x) = \frac{1}{2}(60 - 16x + x^2)$。

三角形ADQの面積は、$\frac{1}{2} \times 4 \times (6 - (6-x)) = \frac{1}{2} \times 4 \times x= 2x$。

したがって、

$S = 24 - (3x - 18) - \frac{1}{2}(60 - 16x + x^2) - 2x = 24 - 3x + 18 - 30 + 8x - \frac{1}{2}x^2 - 2x = 12 + 3x - \frac{1}{2}x^2 = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 12$

$6 \le x \le 10$のとき点PはBC上にあるから、$6 \le x \le 10$。

3. 最終的な答え

(1)

辺AB: 6 cm

辺BC: 4 cm

(2)

$S = -\frac{1}{2}x^2 + 3x + 12$

$x$の変域: $6 \le x \le 10$