3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ を定義します。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x+2)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めると、$x = 0, -2$。

したがって、$x = -2$ と $x = 0$ は $f(x)$ の極値を与える点です。

$x = -2$ における $f(x)$ の値は、

$f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0$

$x = 0$ における $f(x)$ の値は、

$f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 4 = -4$

$f(-2) = 0$ であるため、$x = -2$ は $f(x) = 0$ の解の一つであることがわかります。

$f(x)$ を $(x+2)$ で割ります。

$x^3 + 3x^2 - 4 = (x+2)(x^2+x-2)$

さらに、$x^2+x-2$ を因数分解すると、

$x^2+x-2 = (x+2)(x-1)$

したがって、

$f(x) = (x+2)(x+2)(x-1) = (x+2)^2 (x-1)$

$f(x) = 0$ の解は、$x = -2$ と $x = 1$ です。$x=-2$ は重解です。

したがって、実数解の個数は２個です。

3. 最終的な答え

2個