3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は、実数解をいくつ持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ は、実数解をいくつ持つか。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式 $f(x) = x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を調べるために、微分を用いて増減表を作成し、グラフの概形を描きます。

(1) まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

(3) 増減表を作成します。

| x | ... | $-\sqrt{2}$ | ... | $\sqrt{2}$ | ... |

| :----- | :--------- | :---------- | :--------- | :---------- | :--------- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

(4) 極大値と極小値を計算します。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3 \approx 4(1.414) + 3 = 5.656 + 3 = 8.656 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3 \approx -4(1.414) + 3 = -5.656 + 3 = -2.656 < 0$

(5) $x \to -\infty$ のとき $f(x) \to -\infty$ であり、$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \infty$ であることを考慮すると、グラフは、$x=-\sqrt{2}$ で極大値 $4\sqrt{2} + 3 > 0$ をとり、$x=\sqrt{2}$ で極小値 $-4\sqrt{2} + 3 < 0$ をとります。

(6) したがって、グラフは $x$軸と3回交わるため、実数解は3個です。

3. 最終的な答え

3個