$(x + 3y)^6$ の展開式における $x^2y^4$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x + 3y)^6$ の展開式における $x^2y^4$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開式を考えます。

二項定理より、$(x+3y)^6$の展開式の一般項は

$$_6C_k \cdot x^{6-k} \cdot (3y)^k$$

となります。

$x^2y^4$の項を求めるためには、$6-k = 2$ かつ $k = 4$ でなければなりません。 したがって、$k = 4$ であることが分かります。

$k = 4$ を一般項に代入すると、

$$_6C_4 \cdot x^{6-4} \cdot (3y)^4 = _6C_4 \cdot x^2 \cdot 3^4 y^4 = _6C_4 \cdot 81 \cdot x^2 y^4$$

となります。

ここで、$_6C_4$ を計算します。

$$_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

したがって、$x^2y^4$の項は

$$15 \cdot 81 \cdot x^2 y^4 = 1215 \cdot x^2 y^4$$

となります。

したがって、$x^2y^4$ の項の係数は $1215$ です。

3. 最終的な答え

1215