$\sum_{k=1}^n 4^k$ を求めよ。つまり、$4^1 + 4^2 + \dots + 4^n$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^n 4^k$ を求めよ。つまり、$4^1 + 4^2 + \dots + 4^n$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

これは初項が $4$、公比が $4$ の等比数列の和である。

等比数列の和の公式は、初項 $a$、公比 $r$、項数 $n$ のとき、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ で与えられる。

この問題では、$a=4$、$r=4$、$n=n$ であるから、

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{4 - 1}$

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

$S_n = \frac{4^{n+1} - 4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4^{n+1} - 4}{3}$