双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ が与えられており、その漸近線が $x=2$ と $y=-1$ であり、点 $(3,2)$ を通る。この条件を満たす関数を、選択肢の中から選ぶ問題。

1. 問題の内容

双曲線 $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ が与えられており、その漸近線が $x=2$ と $y=-1$ であり、点 $(3,2)$ を通る。この条件を満たす関数を、選択肢の中から選ぶ問題。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x=2$ であることから、分母が $x-2$ の形になる候補を探す。選択肢のうち、3番と4番が該当する。

次に、漸近線が $y=-1$ であることから、$x$ が非常に大きい時、$y$ が$-1$ に近づくものを探す。

一般に、$y = \frac{ax+b}{cx+d}$ のとき、$x$ が非常に大きい時、$y$ は $\frac{a}{c}$ に近づく。

したがって、$\frac{a}{c} = -1$ を満たすものを探す。

3番の選択肢 $y = \frac{x-5}{x-2}$ は $\frac{a}{c}=1$ なので、不適。

4番の選択肢 $y = \frac{-x+5}{x-2}$ は $\frac{a}{c}=-1$ なので、候補に残る。

最後に、点 $(3,2)$ を通るかどうかを確認する。

4番の選択肢に $x=3$ を代入すると、$y = \frac{-3+5}{3-2} = \frac{2}{1} = 2$ となり、点 $(3,2)$ を通る。

したがって、4番の選択肢が条件を満たす。

3. 最終的な答え

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