$(4x + 3y)^6$ の展開式における $x^4 y^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(4x + 3y)^6$ の展開式における $x^4 y^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を用います。二項定理により、$(a+b)^n$ の展開式における $a^k b^{n-k}$ の項の係数は $_nC_k$ です。

今回の問題では、 $a = 4x$, $b = 3y$, $n = 6$ です。

$x^4 y^2$ の項の係数を求めるので、$4x$ が4回、 $3y$ が2回掛けられる場合を考えます。つまり、$k = 4$, $n-k = 2$ となります。

この項の係数は $_6C_4 (4x)^4 (3y)^2$ の $x^4 y^2$ の係数です。

まず、$_6C_4$ を計算します。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

次に、$(4x)^4$ を計算します。

$(4x)^4 = 4^4 x^4 = 256 x^4$

次に、$(3y)^2$ を計算します。

$(3y)^2 = 3^2 y^2 = 9 y^2$

したがって、$x^4 y^2$ の項は

$_6C_4 (4x)^4 (3y)^2 = 15 \times 256 x^4 \times 9 y^2 = 15 \times 256 \times 9 x^4 y^2 = 34560 x^4 y^2$

よって、 $x^4 y^2$ の項の係数は $34560$ です。

3. 最終的な答え

34560