与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} 5^{k-1}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この数列は初項 $a = 5^{1-1} = 5^0 = 1$、公比 $r = 5$ の等比数列の和である。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

である。

ここで、$a = 1$, $r = 5$ を代入すると、

$S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1}$

$S_n = \frac{5^n - 1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{5^n - 1}{4}$