$(a+b+c)^7$ の展開式における $a^2b^2c^3$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^7$ の展開式における $a^2b^2c^3$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

多項定理を用いて $(a+b+c)^7$ の展開式を考えます。

$(a+b+c)^7$ の展開式の一般項は

$\frac{7!}{p!q!r!}a^pb^qc^r$

(ただし、$p+q+r = 7$, $p,q,r$ は0以上の整数)

で与えられます。

$a^2b^2c^3$ の項の係数を求めるので、$p=2$, $q=2$, $r=3$ となります。

よって、係数は

$\frac{7!}{2!2!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)(3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{5040}{24} = 210$

3. 最終的な答え

210